Nu skriver jag...

Då var det dags att börja författa lite... skriva ett par rader då och då i bloggen. Jag har ju trots allt registrerat nablaoperatorn här.

Till att börja med så vore det väl på sin plats med ett par rader om författarn... han är 83:a... född och uppvuxen i centrala Malmö.
Varför flyttade han nu till Stockholm? Jo det lockade mer... mer liv om kvällarna och Sveriges bästa tekniska universitet.. KTH.

Det här blir nog mest en teknologblog, men jag kommer aldrig att tveka att skriva lite rader om kärleken (ifall den nu finns). Detta första inlägg kommer jag dock ägna åt att förklara vad nablaoperatorn är och vad den gör.

Nablaoperatorn är en symbolisk vektor... den innehåller derivator i samtliga riktningar i rymden.
Oftast snackar man om den tredimensionella rymden, det vill säga rummet.
I flerdimensionell matte snackar man om skalärfält och vektorfält.
Skalärfält är en massa punkter i rummet, och i vektorfälten är punkterna tilldelade riktning och längd, det vill säga vektorer.

Nabla kan operera på skalärfälten, men bara genom vanlig multiplikation, typ Df... då får vi en vektor kallad gradienten, som pekar åt det håll som f lutar brantast. Man kan säga att gradienten är en riktningsderivata. Tre komponenter skapas, genom att man deriverar funktionen med avseende på x, y och z.
Gradienten ser ut så här: (df/dx, df/dy, df/dz)

På vektorfälten kan man utföra en skalärprodukt, typ D·F... då får vi en skalär kallad divergensen. Här adderas komponenterna.. så vi har dFx/dx+dFy/dy+dFz/dz.. den är ju skalär.
Divergensen är flödet ur en punkt, eller konvergensen förstås om den är negativ.
Skulle divergensen vara noll, så finns det en vektorpotential, och rotationen av den är F.

Rotationen får vi genom vektorprodukten D×F. Genom vektorprodukten, eller kryssprodukten, får man en vektor som är vinkelrät mot dom båda andra vektorerna.
I rotationen kommer komponenten i varje riktning att deriveras med avseende på alla utom den egna riktningen... så x-komponenten deriveras med avseende på y och z.
Vi har (dFy/dz - dFz/dy, dFz/dx - dFx/dz, dFx/dy - dFy/dx).
Skulle resultatet bli noll så finns det en så kallad skalär potential... gradienten av den potentialen är F.

Med andra ord kan alltså operatorerna användas på varandra, men kom ihåg detta:
Skalärfält kan aldrig rotera eller divergera. Dom har bara en gradient... på samma sätt finns det ingen gradient hos ett vektorfält.
Vidare gäller att div rot F= 0 och rot grad f = 0.
Och så har vi den så kallade laplaceoperatorn... den kan enklast förklaras som divergensen av gradienten, det vill säga att laplaceoperatorn är summan av alla andraderivator i rummet.
Man ställer upp den som div grad f. Vi har nabla i kvadrat.

Relationen div grad f = 0 kallas Laplaces ekvation... lösningen till den är oviss, men garanterat ser den ut som ax + b, om den så klart beror på x.
Laplaces ekvation är ett specialfall av Poissons ekvation, vilken är div grad F = g. I detta fallet har vi alltså en godtycklig funktion i högerledet. Om g = 0, så har vi med andra ord Laplaces ekvation.

Förutom div grad f, div rot F och rot grad f kan vi få rot rot F och grad div F.